Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $5 y^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $5 y$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 12.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.5

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.6

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Multipliziere $2$ mit $2^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{2^{1 + 3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{0}{2^{4} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Schritt 13.2.4

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$\frac{0}{- 5 y^{2} + 5 y + 10}$

Schritt 13.2.5

Schreibe $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y^{2}$ heraus.

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 10}$

Schritt 13.2.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 (y) + 10}$

Schritt 13.2.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 5 \cdot 2}$

Schritt 13.2.5.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (- y^{2}) + 5 y$ heraus.

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2}$

Schritt 13.2.5.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2$ heraus.

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y + 2)}$

Schritt 13.2.5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + 1 y + 2)}$

Schritt 13.2.5.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$\frac{0}{5 (- y^{2} + (- 1 + 2) y + 2)}$

Schritt 13.2.5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{5 (- y^{2} - 1 y + 2 y + 2)}$

Schritt 13.2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{0}{5 ((- y^{2} - 1 y) + 2 y + 2)}$

Schritt 13.2.5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{0}{5 (y (- y - 1) - 2 (- y - 1))}$

Schritt 13.2.5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y - 1$ .

$\frac{0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

$\frac{0}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Schritt 13.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 (- y - 1) (y - 2)$ heraus.

$\frac{5 (0)}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Schritt 13.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Schritt 13.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{(- y - 1) (y - 2)}$

Schritt 13.4

Dividiere $0$ durch $(- y - 1) (y - 2)$ .

$0$