Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{(2 - x) (2 + x)}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(2 - x) (2 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 (2 + x) - x (2 + x)}$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x (2 + x)}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x \cdot x}$

Schritt 1.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - (x \cdot x)}$

Schritt 1.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 0 - x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 - x^{2}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 + 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{2}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{0 - 1}$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{2}{- 1}$

Schritt 7.2.3

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$- 2$