Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 4 x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} x^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot (13 x) + 14}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{lim_{x \to - 2} 3 x^{2} \cdot 13 x + lim_{x \to - 2} 14}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3 \cdot 13$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 lim_{x \to - 2} x^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 14}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $14$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{4 lim_{x \to - 2} x - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot lim_{x \to - 2} x + 14}$

Schritt 11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot - 2 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - {(- 2)}^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Schritt 12.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 - - 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8 + 8}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Schritt 12.1.4

Addiere $- 8$ und $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{0}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Schritt 12.1.5

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{0^{3}}}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Schritt 12.1.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{2} \cdot - 2 + 14}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Multipliziere ${(- 2)}^{2}$ mit $- 2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.1.1

Bewege $- 2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 (- 2 {(- 2)}^{2}) + 14}$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 12.2.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}) + 14}$

Schritt 12.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{1 + 2} + 14}$

Schritt 12.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 13 {(- 2)}^{3} + 14}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $13$ .

$\frac{0}{39 {(- 2)}^{3} + 14}$

Schritt 12.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{0}{39 \cdot - 8 + 14}$

Schritt 12.2.4

Mutltipliziere $39$ mit $- 8$ .

$\frac{0}{- 312 + 14}$

Schritt 12.2.5

Addiere $- 312$ und $14$ .

$\frac{0}{- 298}$

Schritt 12.3

Dividiere $0$ durch $- 298$ .

$0$