Analysis Beispiele

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $y^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $4$ annähert.

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $4$ für $y$ .

$\frac{4^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - lim_{y \to 4} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - lim_{y \to 4} 2}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $4$ für $y$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2} = lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 16$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{y} - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2.2

Addiere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{y \to 4} 2 y (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.5

Schreibe $y^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{y}$ um.

$lim_{y \to 4} 2 y (2 \sqrt{y})$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{y \to 4} 4 y \sqrt{y}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$4 lim_{y \to 4} y \sqrt{y}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $4$ annähert.

$4 lim_{y \to 4} y \cdot lim_{y \to 4} \sqrt{y}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$4 lim_{y \to 4} y \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $y$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $4$ für $y$ .

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $4$ für $y$ .

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 \cdot \sqrt{4}$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$16 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$16 \cdot 2$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$32$