Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{w^{3} - w}{2 w^{2} + 3 w}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{w^{3} - w}{2 w^{2} + 3 w}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{w^{3} - w}{2 w^{2} + 3 w}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3} - w$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3}$ heraus.

$\frac{w \cdot w^{2} - w}{2 w^{2} + 3 w}$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $w$ aus $- w$ heraus.

$\frac{w \cdot w^{2} + w \cdot - 1}{2 w^{2} + 3 w}$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $w$ aus $w \cdot w^{2} + w \cdot - 1$ heraus.

$\frac{w (w^{2} - 1)}{2 w^{2} + 3 w}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{w (w^{2} - 1^{2})}{2 w^{2} + 3 w}$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = w$ und $b = 1$ .

$\frac{w (w + 1) (w - 1)}{2 w^{2} + 3 w}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $w$ aus $2 w^{2} + 3 w$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $w$ aus $2 w^{2}$ heraus.

$\frac{w (w + 1) (w - 1)}{w (2 w) + 3 w}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $w$ aus $3 w$ heraus.

$\frac{w (w + 1) (w - 1)}{w (2 w) + w \cdot 3}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $w$ aus $w (2 w) + w \cdot 3$ heraus.

$\frac{w (w + 1) (w - 1)}{w (2 w + 3)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w (w + 1) (w - 1)}{w (2 w + 3)}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(w + 1) (w - 1)}{2 w + 3}$