Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} {(3 x - 8)}^{3} \cdot \frac{3 x}{5 x - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$lim_{x \to 2} {(3 x - 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(3 x - 8)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 2} 3 x - 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

${(lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 lim_{x \to 2} \frac{x}{5 x - 4}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 5 x - 4}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${(6 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

${(6 - 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 12.2

Subtrahiere $8$ von $6$ .

${(- 2)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 12.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$- 24 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 12.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $5 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ .

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Schritt 12.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 \cdot 2$ heraus.

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2) - 1 \cdot 4}$

Schritt 12.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 4$ heraus.

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2) - 1 (4)}$

Schritt 12.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 \cdot 2) - 1 (4)$ heraus.

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Schritt 12.5.4

Schreibe $- (- 5 \cdot 2 + 4)$ als $- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)$ um.

$- 24 \frac{2}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Schritt 12.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Schritt 12.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)$ heraus.

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 5 + 2))}$

Schritt 12.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 5 + 2))}$

Schritt 12.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 24 \frac{1}{- 1 (- 5 + 2)}$

Schritt 12.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 12.6.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- 24 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 5 + 2)}$

Schritt 12.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 24 (- \frac{1}{- 5 + 2})$

Schritt 12.7

Addiere $- 5$ und $2$ .

$- 24 (- \frac{1}{- 3})$

Schritt 12.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{- 3}$ in den Zähler.

$- 24 (\frac{- 1}{- 3})$

Schritt 12.8.2

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$3 (- 8) \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 12.8.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 \cdot - 8 \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Schritt 12.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 8 \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Schritt 12.8.5

Forme den Ausdruck um.

$- 8 (\frac{- 1}{- 1})$

Schritt 12.9

Kombiniere $- 8$ und $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 8 \cdot - 1}{- 1}$

Schritt 12.10

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Schritt 12.11

Dividiere $8$ durch $- 1$ .

$- 8$