Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 7} \frac{x^{2} - 49}{2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 7} x^{2} - 49}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 7} x^{2} - lim_{x \to - 7} 49}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 7} x)}^{2} - lim_{x \to - 7} 49}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $49$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 7$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$\frac{{(- 7)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{49 - 1 \cdot 49}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{49 - 49}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + 15 x + 7}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 7} 2 x^{2} + lim_{x \to - 7} 15 x + lim_{x \to - 7} 7}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 7} x^{2} + lim_{x \to - 7} 15 x + lim_{x \to - 7} 7}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + lim_{x \to - 7} 15 x + lim_{x \to - 7} 7}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + 15 lim_{x \to - 7} x + lim_{x \to - 7} 7}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 7$ annähert.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + 15 lim_{x \to - 7} x + 7}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 7$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 7)}^{2} + 15 lim_{x \to - 7} x + 7}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 7)}^{2} + 15 \cdot - 7 + 7}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.7.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 49 + 15 \cdot - 7 + 7}$

Schritt 1.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$\frac{0}{98 + 15 \cdot - 7 + 7}$

Schritt 1.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 7$ .

$\frac{0}{98 - 105 + 7}$

Schritt 1.1.3.7.2

Subtrahiere $105$ von $98$ .

$\frac{0}{- 7 + 7}$

Schritt 1.1.3.7.3

Addiere $- 7$ und $7$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 7} \frac{x^{2} - 49}{2 x^{2} + 15 x + 7} = lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 15 x + 7]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 15 x + 7]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 15 x + 7]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 15 x + 7]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 15 x + 7]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 15 x + 7]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 15 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{4 x + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{4 x + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{4 x + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{4 x + 15 + \frac{d}{d x} [7]}$

Schritt 1.3.9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{4 x + 15 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $4 x + 15$ und $0$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{2 x}{4 x + 15}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 7} \frac{x}{4 x + 15}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{lim_{x \to - 7} 4 x + 15}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{lim_{x \to - 7} 4 x + lim_{x \to - 7} 15}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{4 lim_{x \to - 7} x + lim_{x \to - 7} 15}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $15$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 7$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{4 lim_{x \to - 7} x + 15}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 7$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$2 \frac{- 7}{4 lim_{x \to - 7} x + 15}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$2 \frac{- 7}{4 \cdot - 7 + 15}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

$2 \frac{- 7}{- 28 + 15}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- 28$ und $15$ .

$2 (\frac{- 7}{- 13})$

Schritt 4.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$2 (\frac{7}{13})$

Schritt 4.3

Multipliziere $2 (\frac{7}{13})$ .

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{13}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{13}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14}{13}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{14}{13}$

Dezimalform:

$1.\overline{076923}$