Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{\sin^{2} (π x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.2.6.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sin^{2} (π x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (π x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} \sin (π x))}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 2} π x)}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin^{2} (π lim_{x \to 2} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (π \cdot 2)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (2 \cdot π)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{\sin^{2} (π x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (π x)]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (π x)$ .

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Schritt 1.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (π x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Schritt 1.3.7.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (π x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 1.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])}$

Schritt 1.3.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])}$

Schritt 1.3.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}$

Schritt 1.3.9

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)}$

Schritt 1.3.11

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \sin (π x) \cos (π x) π}$

Schritt 1.3.12

Vereinfache.

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Schritt 1.3.12.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 π \cos (π x) \sin (π x)}$

Schritt 1.3.12.2

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 π (\cos (π x) \sin (π x))}$

Schritt 1.3.12.3

Stelle $2 π$ und $\cos (π x) \sin (π x)$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\cos (π x) \sin (π x) (2 π)}$

Schritt 1.3.12.4

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π}$

Schritt 1.3.12.5

Stelle $\cos (π x)$ und $\sin (π x) \cdot 2$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π}$

Schritt 1.3.12.6

Stelle $\sin (π x)$ und $2$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π}$

Schritt 1.3.12.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (2 (π x)) π}$

Schritt 1.3.12.8

Stelle die Faktoren in $\sin (2 π x) π$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{π \sin (2 π x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{π}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (2 π x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 2} \sin (2 π x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 2} 2 π x)}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $2 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (2 π lim_{x \to 2} x)}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (2 π \cdot 2)}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (4 π)}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 3.1.3.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\sin (2 π x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 π x)]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 π x$ .

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Schritt 3.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 π x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 π x]}$

Schritt 3.3.6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 π x]}$

Schritt 3.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 π x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \frac{d}{d x} [2 π x]}$

Schritt 3.3.7

Da $2 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 π x$ nach $x$ gleich $2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \cdot 2 π \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \cdot 2 π \cdot 1}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{\cos (2 π x) \cdot 2 π}$

Schritt 3.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 π x)$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{2 \cdot \cos (2 π x) π}$

Schritt 3.3.11

Stelle die Faktoren von $2 \cos (2 π x) π$ um.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{2 π \cos (2 π x)}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{2}{2 π \cos (2 π x)}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{1}{π \cos (2 π x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{π}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} lim_{x \to 2} \frac{1}{\cos (2 π x)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \cos (2 π x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{lim_{x \to 2} \cos (2 π x)}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{\cos (lim_{x \to 2} 2 π x)}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $2 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{\cos (2 π lim_{x \to 2} x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π} \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{π}$ .

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{π π} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{1}{π^{1} π} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6.1.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{1}{π^{1} π^{1}} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{π^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{π^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{π^{2} \cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{π^{2} \cos (2 π \cdot 2)}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{π^{2} \cos (4 π)}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{π^{2} \cos (0)}$

Schritt 6.4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{π^{2} \cdot 1}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{π^{2}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{π^{2}}$

Dezimalform:

$0.10132118 \dots$