Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{2^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2^{2 x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2^{2 x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.5

Potenziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1} \cdot 2^{2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $2^{x} \ln (2)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{1 + 2 x}$ und $2^{x}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Schritt 1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x} \ln (2)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} (\ln (2))}$

Schritt 1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Schritt 1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 1.4.2.2

Dividiere $2^{1 + x}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 2^{1 + x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$2^{lim_{x \to 0} 1 + x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2^{1 + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2^{1 + 0}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2^{1}$

Schritt 4.2

Berechne den Exponenten.

$2$