Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 4}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 4}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{2^{2} + 4}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{2^{2} + 4}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{2^{2} + 4}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{2^{2} + 4}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Schritt 9.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{0}{8}$

Schritt 9.3

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$