Analysis Beispiele

lim_{x \to 2} 2 x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} - 5

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} - 5$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

x

$x$ sich an

2

$2$ annähert.

lim_{x \to 2} 2 x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 2

Ziehe den Term

2

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

2 lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5

$2 lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten

5

$5$ von

x^{5}

$x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 4

Ziehe den Term

2

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten

4

$4$ von

x^{4}

$x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 6

Ziehe den Term

4

$4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten

3

$3$ von

x^{3}

$x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten

2

$2$ von

x^{2}

$x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von

5

$5$ , welcher konstant ist, wenn

x

$x$ sich

2

$2$ annähert.

2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von

2

$2$ für alle

x

$x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

2

$2$ für

x

$x$ .

2 \cdot 2^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5

$2 \cdot 2^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

2

$2$ für

x

$x$ .

2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

2

$2$ für

x

$x$ .

2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

2

$2$ für

x

$x$ .

2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Multipliziere

2

$2$ mit

2^{5}

$2^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2^{5}

$2^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.1.1

Potenziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2^{1} \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$2^{1} \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

2^{1 + 5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$2^{1 + 5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

2^{1 + 5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$2^{1 + 5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.1.2

Addiere

1

$1$ und

5

$5$ .

2^{6} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$2^{6} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

2^{6} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$2^{6} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.2

Potenziere

2

$2$ mit

6

$6$ .

64 - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$64 - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.3

Potenziere

2

$2$ mit

4

$4$ .

64 - 2 \cdot 16 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$64 - 2 \cdot 16 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

16

$16$ .

64 - 32 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5

$64 - 32 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.5

Potenziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

64 - 32 + 4 \cdot 8 + 2^{2} - 1 \cdot 5

$64 - 32 + 4 \cdot 8 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.6

Mutltipliziere

4

$4$ mit

8

$8$ .

64 - 32 + 32 + 2^{2} - 1 \cdot 5

$64 - 32 + 32 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.7

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

64 - 32 + 32 + 4 - 1 \cdot 5

$64 - 32 + 32 + 4 - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.8

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

5

$5$ .

64 - 32 + 32 + 4 - 5

$64 - 32 + 32 + 4 - 5$

64 - 32 + 32 + 4 - 5

$64 - 32 + 32 + 4 - 5$

Schritt 11.2

Subtrahiere

32

$32$ von

64

$64$ .

32 + 32 + 4 - 5

$32 + 32 + 4 - 5$

Schritt 11.3

Addiere

32

$32$ und

32

$32$ .

64 + 4 - 5

$64 + 4 - 5$

Schritt 11.4

Addiere

64

$64$ und

4

$4$ .

68 - 5

$68 - 5$

Schritt 11.5

Subtrahiere

5

$5$ von

68

$68$ .

63

$63$

63

$63$