Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} - 5$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$lim_{x \to 2} 2 x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 2 x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$2 {(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$2 \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere $2$ mit $2^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{5}$ .

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Schritt 11.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 5} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.1.2

Addiere $1$ und $5$ .

$2^{6} - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.2

Potenziere $2$ mit $6$ .

$64 - 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$64 - 2 \cdot 16 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$64 - 32 + 4 \cdot 2^{3} + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$64 - 32 + 4 \cdot 8 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$64 - 32 + 32 + 2^{2} - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$64 - 32 + 32 + 4 - 1 \cdot 5$

Schritt 11.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$64 - 32 + 32 + 4 - 5$

Schritt 11.2

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$32 + 32 + 4 - 5$

Schritt 11.3

Addiere $32$ und $32$ .

$64 + 4 - 5$

Schritt 11.4

Addiere $64$ und $4$ .

$68 - 5$

Schritt 11.5

Subtrahiere $5$ von $68$ .

$63$