Analysis Beispiele

$y = 4 x^{2}$ , $x = 1$ , $x = 4$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$4 x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse $4 x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{4} 4 x^{2} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $4$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $4 x^{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} d x$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Schritt 3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 3.5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 3.5.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{64 - 1}{3}$

Schritt 3.5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$4 (\frac{63}{3})$

Schritt 3.5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Schritt 3.5.2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Schritt 3.5.2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{21}{1})$

Schritt 3.5.2.2.5.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$4 \cdot 21$

Schritt 3.5.2.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $21$ .

$84$

Schritt 4