Analysis Beispiele

$y = 3 x + 2 x^{2} - x^{3}$ , $y = 0$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$3 x + 2 x^{2} - x^{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse $3 x + 2 x^{2} - x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 u + 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $u$ aus $3 u + 2 u^{2} - u^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $3 u$ heraus.

$u \cdot 3 + 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$u \cdot 3 + u (2 u) - u^{3} = 0$

Schritt 1.2.1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{3}$ heraus.

$u \cdot 3 + u (2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 3 + u (2 u)$ heraus.

$u \cdot (3 + 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.2.5

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot (3 + 2 u) + u (- u^{2})$ heraus.

$u (3 + 2 u - u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Schreibe $3$ um als $4$ plus $- 1$

$u (4 - 1 + 2 u - u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u (4 - (1^{2} - 2 u + u^{2})) = 0$

Schritt 1.2.1.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot 1 \cdot u$

Schritt 1.2.1.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$u (4 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2})) = 0$

Schritt 1.2.1.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = u$ .

$u (4 - {(1 - u)}^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u (2^{2} - {(1 - u)}^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = 1 - u$ .

$u ((2 + 1 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Schritt 1.2.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1.7.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.7.1.1

Entferne unnötige Klammern.

$u ((2 + 1 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Schritt 1.2.1.7.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$u ((3 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Schritt 1.2.1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u ((3 - u) (2 - 1 \cdot 1 + u)) = 0$

Schritt 1.2.1.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + u)) = 0$

Schritt 1.2.1.7.1.5

Multipliziere $- - u$ .

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Schritt 1.2.1.7.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + 1 u)) = 0$

Schritt 1.2.1.7.1.5.2

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + u)) = 0$

Schritt 1.2.1.7.1.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u ((3 - u) (1 + u)) = 0$

Schritt 1.2.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (3 - u) (1 + u) = 0$

Schritt 1.2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (3 - x) (1 + x) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

$1 + x = 0 + y = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 1.2.5

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 - x) (1 + x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3, - 1$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 1, 0)$

Schritt 2

Vereinfache $3 x + 2 x^{2} - x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Bewege $3 x$ .

$y = 2 x^{2} - x^{3} + 3 x$

Schritt 2.2

Stelle $2 x^{2}$ und $- x^{3}$ um.

$y = - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $0$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$ von $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x) d x$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere $- - x^{3}$ .

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x)$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - (3 x)$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - 2 x^{2} - 3 x d x$

Schritt 4.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Schritt 4.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Schritt 4.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Schritt 4.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 \int_{- 1}^{0} x d x$

Schritt 4.11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Schritt 4.12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Schritt 4.12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.12.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Schritt 4.12.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $0$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Schritt 4.12.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.12.2.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.5

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 4.12.2.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.2.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - \frac{- 1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - - \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 + 1 (\frac{1}{3})) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 + \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.12

Addiere $0$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.13

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{- 2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.15

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.16

Um $- \frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.17

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.12.2.4.17.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.17.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.17.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.17.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 - 2 \cdot 4}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.2.4.19.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{- 3 - 8}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.19.2

Subtrahiere $8$ von $- 3$ .

$\frac{- 11}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.21

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.12.2.4.22.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.2.4.22.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.22.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 4.12.2.4.23

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (0 - \frac{1}{2})$

Schritt 4.12.2.4.24

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.12.2.4.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{11}{12} + 3 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.12.2.4.26

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.12.2.4.27

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 4.12.2.4.28

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.12.2.4.28.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.12.2.4.28.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3 \cdot 6}{12}$

Schritt 4.12.2.4.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 11 + 3 \cdot 6}{12}$

Schritt 4.12.2.4.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.2.4.30.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{- 11 + 18}{12}$

Schritt 4.12.2.4.30.2

Addiere $- 11$ und $18$ .

$\frac{7}{12}$

Schritt 5

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Schritt 6

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - (0) d x$

Schritt 6.2

Subtrahiere $0$ von $- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x$

Schritt 6.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Schritt 6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Schritt 6.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Schritt 6.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Schritt 6.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x d x$

Schritt 6.11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.12.2.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $3$ und $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.12.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.12.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.12.2.4.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 6.12.2.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.12.2.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.5

Addiere $\frac{81}{4}$ und $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 6.12.2.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.12.2.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.7.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.12.2.4.9.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.12.2.4.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0}{1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - 0) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 + 0) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.11

Addiere $9$ und $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 \cdot 9 + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.12

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{81}{4} + 18 + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.13

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + 18 \cdot \frac{4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.14

Kombiniere $18$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 81 + 18 \cdot 4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.16

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.12.2.4.16.1

Mutltipliziere $18$ mit $4$ .

$\frac{- 81 + 72}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.16.2

Addiere $- 81$ und $72$ .

$\frac{- 9}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.18

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.12.2.4.19

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 6.12.2.4.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.12.2.4.20.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 6.12.2.4.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.12.2.4.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.12.2.4.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.12.2.4.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 6.12.2.4.20.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - 0)$

Schritt 6.12.2.4.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} + 0)$

Schritt 6.12.2.4.22

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2})$

Schritt 6.12.2.4.23

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{2}$

Schritt 6.12.2.4.24

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{2}$

Schritt 6.12.2.4.25

Um $\frac{27}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.12.2.4.26

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.12.2.4.26.1

Mutltipliziere $\frac{27}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.12.2.4.26.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27 \cdot 2}{4}$

Schritt 6.12.2.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 + 27 \cdot 2}{4}$

Schritt 6.12.2.4.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.12.2.4.28.1

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$\frac{- 9 + 54}{4}$

Schritt 6.12.2.4.28.2

Addiere $- 9$ und $54$ .

$\frac{45}{4}$

Schritt 7

Addiere die Flächen $\frac{7}{12} + \frac{45}{4}$ .

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Schritt 7.1

Um $\frac{45}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{45}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45 \cdot 3}{12}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 + 45 \cdot 3}{12}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $45$ mit $3$ .

$\frac{7 + 135}{12}$

Schritt 7.4.2

Addiere $7$ und $135$ .

$\frac{142}{12}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $142$ und $12$ .

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $142$ heraus.

$\frac{2 (71)}{12}$

Schritt 7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 71}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 71}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{71}{6}$

Schritt 8