Analysis Beispiele

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = - 2 x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$4 x - x^{2} = - 2 x$

Schritt 1.2

Löse $4 x - x^{2} = - 2 x$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$- x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $6 x$ heraus.

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x) - x (- 6)$ heraus.

$- x (x - 6) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0 + y = - 2 x$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = - 2 \cdot 0$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = - 2 \cdot 0$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 6$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$y = - 2 \cdot 6$

Schritt 1.4.2

Setze $6$ für $x$ in $y = - 2 \cdot 6$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 \cdot 6$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$y = - 12$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(6, - 12)$

$(0, 0)$

$(6, - 12)$

Schritt 2

Stelle $4 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 4 x$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{6} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{6} - 2 x d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $6$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 4 x - (- 2 x) d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 4 x + 2 x d x$

Schritt 4.3

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 6 x d x$

Schritt 4.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{6} - x^{2} d x + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 6 x d x$

Schritt 4.8

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 \int_{0}^{6} x d x$

Schritt 4.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6})$

Schritt 4.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6})$

Schritt 4.10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.10.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $6$ und $0$ .

$- ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6})$

Schritt 4.10.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $6$ und $0$ .

$- (\frac{6^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.10.2.3.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$- (\frac{216}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 4.10.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$- (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{72}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.2.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$- (72 - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (72 - \frac{0}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 4.10.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- (72 - \frac{3 (0)}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (72 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (72 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (72 - \frac{0}{1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (72 - 0) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (72 + 0) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.6

Addiere $72$ und $0$ .

$- 1 \cdot 72 + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $72$ .

$- 72 + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.8

Potenziere $6$ mit $2$ .

$- 72 + 6 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 4.10.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 72 + 6 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.9.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{0}{2})$

Schritt 4.10.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.10.2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 4.10.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.10.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.10.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 72 + 6 (18 - \frac{0}{1})$

Schritt 4.10.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 72 + 6 (18 - 0)$

Schritt 4.10.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 72 + 6 (18 + 0)$

Schritt 4.10.2.3.13

Addiere $18$ und $0$ .

$- 72 + 6 \cdot 18$

Schritt 4.10.2.3.14

Mutltipliziere $6$ mit $18$ .

$- 72 + 108$

Schritt 4.10.2.3.15

Addiere $- 72$ und $108$ .

$36$

Schritt 5