Analysis Beispiele

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Löse $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $\sin (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 4 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ heraus.

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

Schritt 1.2.5

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 1.2.5.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 1.2.5.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.5.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.6

Setze $- 2 - \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $- 2 - \cos (x)$ gleich $0$ .

$- 2 - \cos (x) = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $- 2 - \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = 2$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = - 2$

Schritt 1.2.6.2.3

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = π n$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $π n$ .

$y = \sin (2 (π n))$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = \sin (2 π n)$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = \sin (2 π n), x = π n$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3