Analysis Beispiele

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x^{2} - 4$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$2 x - x^{2} = x^{2} - 4$

Schritt 1.2

Löse $2 x - x^{2} = x^{2} - 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x^{2} - x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 2 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $2 x - 2 x^{2} + 4$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1.1

Stelle $2 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $2 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- x) + 4 = 0$

Schritt 1.2.3.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $4$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.3.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.3.1.6

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - x) - 2 (- 2)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1 + y = x^{2} - 4$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2} - 4$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.3.2

Setze $2$ für $x$ in $y = {(2)}^{2} - 4$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2^{2} - 4$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $2^{2} - 4$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 - 4$

Schritt 1.3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.4.2

Vereinfache ${(- 1)}^{2} - 4$ .

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 - 4$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y = - 3$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

Schritt 2

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 2 x$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} - 4 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - (x^{2} - 4) d x$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 2 x - x^{2} - - 4$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 d x$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 4 d x$

Schritt 4.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Schritt 4.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Schritt 4.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Schritt 4.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Schritt 4.11

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Schritt 4.12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.12.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $- 1$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Schritt 4.12.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Schritt 4.12.3

Berechne $4 x$ bei $2$ und $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4

Vereinfache.

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Schritt 4.12.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \frac{8 + 1}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.7

Addiere $8$ und $1$ .

$- 2 (\frac{9}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 4.12.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (\frac{3}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.8.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 2 \cdot 3 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.12.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.11.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.13

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.14

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 6 + 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.4.16.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 6 + 2 \frac{4 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.16.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{3}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.17

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.18

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 6 + \frac{6}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 4.12.4.19.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.4.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 + \frac{3}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.19.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 6 + 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.20

Addiere $- 6$ und $3$ .

$- 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.21

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- 3 + 8 - 4 \cdot - 1$

Schritt 4.12.4.22

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- 3 + 8 + 4$

Schritt 4.12.4.23

Addiere $8$ und $4$ .

$- 3 + 12$

Schritt 4.12.4.24

Addiere $- 3$ und $12$ .

$9$

Schritt 5