Analysis Beispiele

$y = 2 x^{3}$ , $x = 1$ , $x = 6$ , $n = 5$

Schritt 1

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{6} 2 x^{3} d x - \int_{1}^{6} 5 d x$

Schritt 2

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $6$ zu ermitteln.

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Schritt 2.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - (5) d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - 5 d x$

Schritt 2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{6} x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Schritt 2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Schritt 2.7

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Schritt 2.8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $6$ und $1$ .

$2 ((\frac{6^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Schritt 2.8.2

Berechne $- 5 x$ bei $6$ und $1$ .

$2 (\frac{6^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3

Vereinfache.

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Schritt 2.8.3.1

Potenziere $6$ mit $4$ .

$2 (\frac{1296}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1296$ und $4$ .

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Schritt 2.8.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1296$ heraus.

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{324}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.2.2.4

Dividiere $324$ durch $1$ .

$2 (324 - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (324 - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.4

Um $324$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (324 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.5

Kombiniere $324$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{324 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{324 \cdot 4 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.3.7.1

Mutltipliziere $324$ mit $4$ .

$2 \frac{1296 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $1296$ .

$2 (\frac{1295}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{1295}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 1295}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1295$ .

$\frac{2590}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2590$ und $4$ .

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Schritt 2.8.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2590$ heraus.

$\frac{2 (1295)}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1295}{2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.11

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.8.3.12

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5$

Schritt 2.8.3.13

Addiere $- 30$ und $5$ .

$\frac{1295}{2} - 25$

Schritt 2.8.3.14

Um $- 25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.8.3.15

Kombiniere $- 25$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.8.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1295 - 25 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.8.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.3.17.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$\frac{1295 - 50}{2}$

Schritt 2.8.3.17.2

Subtrahiere $50$ von $1295$ .

$\frac{1245}{2}$

Schritt 3