Analysis Beispiele

$y = 2 x^{2} - 5 x + 5$ , $y = x^{2} + 7 x - 15$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$

Schritt 1.2

Löse $2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} = 7 x - 15$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $7 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} - 7 x = - 15$

Schritt 1.2.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 5 x + 5 - 7 x = - 15$

Schritt 1.2.1.4

Subtrahiere $7 x$ von $- 5 x$ .

$x^{2} - 12 x + 5 = - 15$

Schritt 1.2.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 12 x + 5 + 15 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $5$ und $15$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 10, - 2 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 1.2.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 10) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 10, 2$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 10$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $10$ .

$y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$

Schritt 1.3.2

Setze $10$ für $x$ in $y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 10^{2} + 7 (10) - 15$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $10^{2} + 7 (10) - 15$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$y = 100 + 7 (10) - 15$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $10$ .

$y = 100 + 70 - 15$

Schritt 1.3.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Addiere $100$ und $70$ .

$y = 170 - 15$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Subtrahiere $15$ von $170$ .

$y = 155$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$

Schritt 1.4.2

Setze $2$ für $x$ in $y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2^{2} + 7 (2) - 15$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache $2^{2} + 7 (2) - 15$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 + 7 (2) - 15$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$y = 4 + 14 - 15$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Addiere $4$ und $14$ .

$y = 18 - 15$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Subtrahiere $15$ von $18$ .

$y = 3$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(10, 155)$

$(2, 3)$

$(10, 155)$

$(2, 3)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 d x - \int_{2}^{10} 2 x^{2} - 5 x + 5 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $2$ und $10$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2} - 5 x + 5) d x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5$

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5 d x$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- x^{2} + 7 x - 15 + 5 x - 5$

Schritt 3.3.2

Addiere $7 x$ und $5 x$ .

$- x^{2} + 12 x - 15 - 5$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $5$ von $- 15$ .

$- x^{2} + 12 x - 20$

$\int_{2}^{10} - x^{2} + 12 x - 20 d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{10} - x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{2}^{10} x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Schritt 3.8

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 \int_{2}^{10} x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Schritt 3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Schritt 3.11

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Schritt 3.12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $10$ und $2$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Schritt 3.12.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $10$ und $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Schritt 3.12.3

Berechne $- 20 x$ bei $10$ und $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4

Vereinfache.

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Schritt 3.12.4.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1000 - 8}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.4

Subtrahiere $8$ von $1000$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.5

Potenziere $10$ mit $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{100}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 3.12.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{50}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.6.2.4

Dividiere $50$ durch $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{4}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.12.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2}{1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.8.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 1 \cdot 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.10

Subtrahiere $2$ von $50$ .

$- \frac{992}{3} + 12 \cdot 48 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.11

Mutltipliziere $12$ mit $48$ .

$- \frac{992}{3} + 576 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.12

Um $576$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + 576 \cdot \frac{3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.13

Kombiniere $576$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + \frac{576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 992 + 576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.4.15.1

Mutltipliziere $576$ mit $3$ .

$\frac{- 992 + 1728}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.15.2

Addiere $- 992$ und $1728$ .

$\frac{736}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.16

Mutltipliziere $- 20$ mit $10$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 20 \cdot 2$

Schritt 3.12.4.17

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 40$

Schritt 3.12.4.18

Addiere $- 200$ und $40$ .

$\frac{736}{3} - 160$

Schritt 3.12.4.19

Um $- 160$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.12.4.20

Kombiniere $- 160$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.12.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{736 - 160 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.12.4.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.4.22.1

Mutltipliziere $- 160$ mit $3$ .

$\frac{736 - 480}{3}$

Schritt 3.12.4.22.2

Subtrahiere $480$ von $736$ .

$\frac{256}{3}$

Schritt 4