Analysis Beispiele

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\ln (x) = x^{2} - 2$

Schritt 1.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0.13793482$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0.13793482$ .

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Schritt 1.3.2

Setze $0.13793482$ für $x$ in $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache ${(0.13793482)}^{2} - 2$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Potenziere $0.13793482$ mit $2$ .

$y = 0.01902601 - 2$

Schritt 1.3.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $0.01902601$ .

$y = - 1.98097398$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 1.56446225$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $1.56446225$ .

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Schritt 1.4.2

Setze $1.56446225$ für $x$ in $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

Schritt 1.4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache ${(1.56446225)}^{2} - 2$ .

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Schritt 1.4.2.3.1

Potenziere $1.56446225$ mit $2$ .

$y = 2.44754216 - 2$

Schritt 1.4.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $2.44754216$ .

$y = 0.44754216$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0.13793482$ und $1.56446225$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.6

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Schritt 3.10

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

Schritt 3.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.11.1

Kombiniere $\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ und $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ .

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Schritt 3.11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.11.2.1

Berechne $\ln (x) x + 2 x$ bei $1.56446225$ und $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Schritt 3.11.2.2

Berechne $x$ bei $1.56446225$ und $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Schritt 3.11.2.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1.56446225$ und $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.11.2.4.1

Mutltipliziere $\ln (1.56446225)$ mit $1.56446225$ .

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1.56446225$ .

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.3

Addiere $0.70016281$ und $3.12892451$ .

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.4

Mutltipliziere $\ln (0.13793482)$ mit $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.6

Addiere $- 0.2732453$ und $0.27586965$ .

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.00262435$ .

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.8

Subtrahiere $0.00262435$ von $3.82908733$ .

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.9

Subtrahiere $0.13793482$ von $1.56446225$ .

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.42652743$ .

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.11

Subtrahiere $1.42652743$ von $3.82646298$ .

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.12

Potenziere $1.56446225$ mit $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Schritt 3.11.2.4.13

Potenziere $0.13793482$ mit $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

Schritt 3.11.2.4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

Schritt 3.11.2.4.15

Subtrahiere $0.00262435$ von $3.82908733$ .

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

Schritt 3.11.2.4.16

Um $2.39993555$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Schritt 3.11.2.4.17

Kombiniere $2.39993555$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Schritt 3.11.2.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

Schritt 3.11.2.4.19

Mutltipliziere $2.39993555$ mit $3$ .

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

Schritt 3.11.2.4.20

Subtrahiere $3.82646298$ von $7.19980666$ .

$\frac{3.37334367}{3}$

Schritt 3.12

Dividiere $3.37334367$ durch $3$ .

$1.12444789$

Schritt 4