Analysis Beispiele

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\cos (11 x) = 0$

Schritt 1.2

Löse $\cos (11 x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$11 x = \arccos (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $11 x = \frac{π}{2}$ durch $11$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x = \frac{π}{2}$ durch $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Schritt 1.2.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Schritt 1.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $11 x = \frac{3 π}{2}$ durch $11$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x = \frac{3 π}{2}$ durch $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Schritt 1.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Schritt 1.2.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Schritt 1.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (11 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.6.2

Ersetze $b$ durch $11$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Schritt 1.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $11$ ist $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Schritt 1.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (11 x)$ ist $\frac{2 π}{11}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{11}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $\frac{π}{22}$ und $\frac{π}{11}$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\cos (11 x)$ von $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Schritt 3.4

Sei $u = 11 x$ . Dann ist $d u = 11 d x$ , folglich $\frac{1}{11} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Es sei $u = 11 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Differenziere $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Schritt 3.4.1.2

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$11$

Schritt 3.4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 11 x$ ein.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $11$ aus $22$ heraus.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Schritt 3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Schritt 3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 11 x$ ein.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Schritt 3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Schritt 3.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 3.4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Schritt 3.4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Schritt 3.5

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Schritt 3.6

Da $\frac{1}{11}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{11}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Schritt 3.7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Schritt 3.8

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Schritt 3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Schritt 3.10.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Schritt 3.10.3

Multipliziere $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Schritt 3.10.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{11}$ mit $1$ .

$\frac{1}{11}$

Schritt 4