Analysis Beispiele

$y = x^{6}$ , $y = 8 x^{3}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{6} = 8 x^{3}$

Schritt 1.2

Löse $x^{6} = 8 x^{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{6} - 8 x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} - 8 u = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 8 u$ heraus.

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Schritt 1.2.2.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 8 u = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 8 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

Schritt 1.2.2.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 8$ heraus.

$u (u - 8) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$x^{3} (x^{3} - 8) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{3} - 8 = 0 + y = 8 x^{3}$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{3} - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{3} - 8$ gleich $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{3} - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 8$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 1.2.5.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.5.2.3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 1.2.5.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 8 x^{3}$

Schritt 1.2.5.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.5.2.6

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.6.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2.6.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 x^{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 8 x^{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (x^{3} - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 8 {(0)}^{3}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = 8 {(0)}^{3}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 \cdot 0^{3}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $8 \cdot 0^{3}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 8 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = 8 {(2)}^{3}$

Schritt 1.4.2

Setze $2$ für $x$ in $y = 8 {(2)}^{3}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 \cdot 2^{3}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache $8 \cdot 2^{3}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = 8 \cdot 8$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$y = 64$

Schritt 1.5

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3