Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$ , $y = 19 x + 52$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$

Schritt 1.2

Löse $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Subtrahiere $19 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x = 52$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $52$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 8 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$1 + 8 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.5

Addiere $1$ und $8$ .

$9 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 + 24 \cdot 1 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.7

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$9 + 24 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.8

Addiere $9$ und $24$ .

$33 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.9

Mutltipliziere $- 19$ mit $- 1$ .

$33 + 19 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.10

Addiere $33$ und $19$ .

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.3.11

Subtrahiere $52$ von $52$ .

$0 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52}{x + 1} + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.5

Dividiere $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ durch $x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

Schritt 1.2.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

Schritt 1.2.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.2.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Schritt 1.2.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$

Schritt 1.2.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

Schritt 1.2.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

Schritt 1.2.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Schritt 1.2.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 1.2.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

Schritt 1.2.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

Schritt 1.2.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $33 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

Schritt 1.2.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

Schritt 1.2.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $33 x^{2} + 33 x$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

Schritt 1.2.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

Schritt 1.2.3.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

Schritt 1.2.3.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 52 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

Schritt 1.2.3.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					+	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
							+	$33 x^{2}$	-	$19 x$
							-	$33 x^{2}$	-	$33 x$
									-	$52 x$	-	$52$
									-	$52 x$	-	$52$

Schritt 1.2.3.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 52 x - 52$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

Schritt 1.2.3.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

$0$

Schritt 1.2.3.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.1.6

Schreibe $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 9 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $16$ .

$64 - 144 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3.5

Subtrahiere $144$ von $64$ .

$- 80 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3.6

Mutltipliziere $33$ mit $4$ .

$- 80 + 132 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3.7

Addiere $- 80$ und $132$ .

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.3.8

Subtrahiere $52$ von $52$ .

$0 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52}{x - 4} + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ durch $x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

Schritt 1.2.3.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$

Schritt 1.2.3.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

Schritt 1.2.3.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

Schritt 1.2.3.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 1.2.3.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} + 20 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 1.2.3.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$

Schritt 1.2.3.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

Schritt 1.2.3.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $13 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

Schritt 1.2.3.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							+	$13 x$	-	$52$

Schritt 1.2.3.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $13 x - 52$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$

Schritt 1.2.3.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$
										$0$

Schritt 1.2.3.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 5 x + 13 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.3.2.1.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) ((x - 4) (x^{2} - 5 x + 13)) = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 5 x + 13 = 0 + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.7

Setze $x^{2} - 5 x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1

Setze $x^{2} - 5 x + 13$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 x + 13 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Löse $x^{2} - 5 x + 13 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1} + y = 19 x + 52$

Schritt 1.2.7.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.3

Subtrahiere $52$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.3

Subtrahiere $52$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.3

Subtrahiere $52$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 4, \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = 19 (- 1) + 52$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $19 (- 1) + 52$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$y = - 19 + 52$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $- 19$ und $52$ .

$y = 33$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$y = 19 (4) + 52$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $19 (4) + 52$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $19$ mit $4$ .

$y = 76 + 52$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $76$ und $52$ .

$y = 128$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Schritt 1.5.2

Setze $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ für $x$ in $y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ ein, löse dann nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Multipliziere $19$ mit $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache $19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Kombiniere $19$ und $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

Schritt 1.5.2.2.2

Um $52$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.5.2.2.3

Kombiniere $52$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.5.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.6

Berechne $y$ bei $x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Schritt 1.6.2

Setze $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ für $x$ in $y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ ein, löse dann nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Multipliziere $19$ mit $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Schritt 1.6.2.2

Vereinfache $19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.2.1

Kombiniere $19$ und $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

Schritt 1.6.2.2.2

Um $52$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.6.2.2.3

Kombiniere $52$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.7

Liste alle Lösungen auf.

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3