Analysis Beispiele

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - 7 x}$ als ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$3 - 7 x = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 - 7 x = 0$

Schritt 1.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x = - 3$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 3$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 3$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{3}{7}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\frac{3}{7}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{3}{7}, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $\frac{3}{7}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

Schritt 3.3

Sei $u = 3 - 7 x$ . Dann ist $d u = - 7 d x$ , folglich $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.3.1

Es sei $u = 3 - 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Differenziere $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 3.3.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 3.3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$0 - 7$

Schritt 3.3.1.4

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$- 7$

Schritt 3.3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 - 7 x$ ein.

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 3.3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 - 7 x$ ein.

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.5.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

Schritt 3.3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

Schritt 3.3.5.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Schritt 3.3.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Schritt 3.3.5.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Schritt 3.6

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

Schritt 3.7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

Schritt 3.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $0$ und $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.9.2

Vereinfache.

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Schritt 3.9.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.9.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.9.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.9.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.9.2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3.9.2.6

Kombiniere $3^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Schritt 3.9.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.8

Bringe $3^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Schritt 3.9.2.9

Multipliziere $3^{\frac{3}{2}}$ mit $3^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.9.2.9.1

Bewege $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Schritt 3.9.2.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Schritt 3.9.2.9.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Schritt 3.9.2.9.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Schritt 3.9.2.9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Schritt 3.9.2.9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.2.9.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Schritt 3.9.2.9.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.9.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.9.2.11

Subtrahiere $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ von $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.9.2.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.2.13

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.2.14

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

Schritt 4