Analysis Beispiele

$x - 2 y = - 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5 + 2 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 5 + 2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $- 5 + 2 y$ .

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache ${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Schreibe ${(- 5 + 2 y)}^{2}$ als $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ um.

$(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Multipliziere $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (- 5 + 2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$25 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$25 - 10 y + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $10 y$ von $- 10 y$ .

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.2.2.1.2

Addiere $4 y^{2}$ und $y^{2}$ .

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3

Löse in $25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $25 - 20 y + 5 y^{2} - 25$ .

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Schritt 1.3.2.1

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$- 20 y + 5 y^{2} + 0 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $- 20 y + 5 y^{2}$ und $0$ .

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $- 5 y$ aus $- 20 y + 5 y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.3.3.1

Stelle $- 20 y$ und $5 y^{2}$ um.

$5 y^{2} - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.3.2

Faktorisiere $- 5 y$ aus $5 y^{2}$ heraus.

$- 5 y (- y) - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere $- 5 y$ aus $- 20 y$ heraus.

$- 5 y (- y) - 5 y \cdot 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.3.4

Faktorisiere $- 5 y$ aus $- 5 y (- y) - 5 y (4)$ heraus.

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.5

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.6

Setze $- y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.6.1

Setze $- y + 4$ gleich $0$ .

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.6.2

Löse $- y + 4 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.6.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 4$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.6.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.6.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 5 y (- y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 1.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 5 + 2 y$ durch $0$ .

$x = - 5 + 2 (0)$

$y = 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache $- 5 + 2 (0)$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$x = - 5 + 0$

$y = 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Addiere $- 5$ und $0$ .

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.5.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 5 + 2 y$ durch $4$ .

$x = - 5 + 2 (4)$

$y = 4$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache $- 5 + 2 (4)$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = - 5 + 8$

$y = 4$

Schritt 1.5.2.1.2

Addiere $- 5$ und $8$ .

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

Schritt 1.6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

Schritt 2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5 + 2 y$

Schritt 3

Löse $x^{2} + y^{2} = 25$ bezüglich $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25 - y^{2}$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25 - y^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25 - y^{2}}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 4

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y - \int_{0}^{4} - 5 + 2 y d y$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $4$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} - (- 5 + 2 y) d y$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} - - 5 - (2 y)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - (2 y)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y$

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y d y$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1.1

Multipliziere $(5 + y) (5 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (5 - y) + y (5 - y)$

Schritt 5.4.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)$

Schritt 5.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Schritt 5.4.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Schritt 5.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)$

Schritt 5.4.1.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)$

Schritt 5.4.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 - 5 y + 5 y - y \cdot y$

Schritt 5.4.1.2.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.2.1.5.1

Bewege $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - y^{2}$

Schritt 5.4.1.2.2

Addiere $- 5 y$ und $5 y$ .

$25 + 0 - y^{2}$

Schritt 5.4.1.2.3

Addiere $25$ und $0$ .

$25 - y^{2}$

Schritt 5.4.1.3

Stelle $25$ und $- y^{2}$ um.

$- y^{2} + 25$

Schritt 5.4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 25$

Schritt 5.4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.4.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Schritt 5.4.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot 0$ als $- 0$ um.

$d = - 0$

Schritt 5.4.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$d = 0$

Schritt 5.4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 25 - \frac{0}{- 4}$

Schritt 5.4.5.2.1.3

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$e = 25 - 0$

Schritt 5.4.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 25 + 0$

Schritt 5.4.5.2.2

Addiere $25$ und $0$ .

$e = 25$

Schritt 5.4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 0)}^{2} + 25$ ein.

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 25} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.5

Sei $u_{1} = y + 0$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.5.1

Es sei $u_{1} = y + 0$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 5.5.1.1

Differenziere $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Schritt 5.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 0$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Schritt 5.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Schritt 5.5.1.4

Da $0$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.5.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u_{1} = y + 0$ ein.

$u_{lower} = 0 + 0$

Schritt 5.5.3

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.5.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u_{1} = y + 0$ ein.

$u_{upper} = 4 + 0$

Schritt 5.5.5

Addiere $4$ und $0$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 5.5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Schritt 5.5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 25} d u_{1} + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.6

Sei $u_{1} = 5 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 5 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache $\sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25}$ .

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Schritt 5.7.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \sin (t)$ an.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (5^{2} \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (25 \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.1.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- 25 \sin^{2} (t) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.2

Stelle $- 25 \sin^{2} (t)$ und $25$ um.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.3

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.4

Faktorisiere $25$ aus $- 25 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.5

Faktorisiere $25$ aus $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.7

Schreibe $25 \cos^{2} (t)$ als ${(5 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.2

Vereinfache.

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Schritt 5.7.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.8

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $25$ aus dem Integral.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.9

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.13

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.14

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.14.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 5.14.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 5.14.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.14.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.14.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.14.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.14.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.14.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Schritt 5.14.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Schritt 5.14.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Schritt 5.14.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.15

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.16

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.17

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.18

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Schritt 5.19

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 \int_{0}^{4} y d y$

Schritt 5.20

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.21

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.22

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.22.1

Berechne $t$ bei $0.92729521$ und $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.22.2

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $1.85459043$ und $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.22.3

Berechne $5 y$ bei $4$ und $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.22.4

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5

Vereinfache.

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Schritt 5.22.5.1

Addiere $0.92729521$ und $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 + 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.4

Addiere $20$ und $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.22.5.6.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.22.5.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.6.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.22.5.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{2})$

Schritt 5.22.5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.22.5.8.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 5.22.5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.22.5.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.22.5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.22.5.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{1})$

Schritt 5.22.5.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - 0)$

Schritt 5.22.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 + 0)$

Schritt 5.22.5.10

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 \cdot 8$

Schritt 5.22.5.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 16$

Schritt 5.22.5.12

Subtrahiere $16$ von $20$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 4$

Schritt 5.23

Vereinfache.

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Schritt 5.23.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0)) + 4$

Schritt 5.23.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0)) + 4$

Schritt 5.23.3

Addiere $\sin (1.85459043)$ und $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043)) + 4$

Schritt 5.23.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2}) + 4$

Schritt 5.23.5

Addiere $0.92729521$ und $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521 + 4$

Schritt 5.23.6

Kombiniere $\frac{25}{2}$ und $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2} + 4$

Schritt 5.23.7

Mutltipliziere $25$ mit $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4$

Schritt 5.23.8

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.23.9

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.23.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35.18238045 + 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.23.11

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{35.18238045 + 8}{2}$

Schritt 5.23.12

Addiere $35.18238045$ und $8$ .

$\frac{43.18238045}{2}$

Schritt 5.24

Dividiere $43.18238045$ durch $2$ .

$21.59119022$

Schritt 6