Analysis Beispiele

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

Schritt 1.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 12.83601099$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $12.83601099$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Setze $12.83601099$ für $x$ in $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Potenziere $12.83601099$ mit $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

Schritt 1.3.2.3.2

Addiere $5$ und $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(12.83601099, 169.76317813)$

Schritt 2

Stelle $5$ und $x^{2}$ um.

$y = x^{2} + 5$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $2$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $- 1$ mit $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Schritt 4.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Schritt 4.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Schritt 4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Schritt 4.7

Sei $u = 0.4 x$ . Dann ist $d u = 0.4 d x$ , folglich $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.7.1

Es sei $u = 0.4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.7.1.1

Differenziere $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

Schritt 4.7.1.2

Da $0.4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.4 x$ nach $x$ gleich $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

Schritt 4.7.1.4

Mutltipliziere $0.4$ mit $1$ .

$0.4$

Schritt 4.7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 0.4 x$ ein.

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $0.4$ mit $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

Schritt 4.7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 0.4 x$ ein.

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

Schritt 4.7.5

Mutltipliziere $0.4$ mit $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

Schritt 4.7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

Schritt 4.7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

Schritt 4.8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Schritt 4.9

Da $\frac{1}{0.4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

Schritt 4.10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Schritt 4.11

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ und $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Schritt 4.12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.12.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ bei $3$ und $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Schritt 4.12.2

Berechne $e^{u}$ bei $1.2$ und $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3

Vereinfache.

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Schritt 4.12.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 4.12.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.3.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.5

Addiere $9$ und $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.9

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.10

Kombiniere $10$ und $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.3.12.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.12.2

Addiere $8$ und $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.13

Um $24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.14

Kombiniere $24$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.3.16.1

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.16.2

Subtrahiere $38$ von $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Schritt 4.12.3.17

Um $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.12.3.18

Kombiniere $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Schritt 4.12.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Schritt 4.12.3.20

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Schritt 4.12.3.21

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Schritt 4.12.3.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.1.1

Dividiere $3$ durch $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Schritt 4.13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Schritt 4.13.1.3

Mutltipliziere $- 7.5$ mit $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

Schritt 4.13.1.4

Subtrahiere $8.20931995$ von $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

Schritt 4.13.2

Dividiere $25.79068004$ durch $3$ .

$8.59689334$

Schritt 5