Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2

Löse $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.2.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache.

$x^{4} = 8 x$

Schritt 1.2.4

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 8 x = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 8 x$ heraus.

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Schritt 1.2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Schritt 1.2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Schritt 1.2.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ heraus.

$x (x^{3} - 8) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Schritt 1.2.5.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 1.2.5.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.5.4.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.4.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 1.2.5.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Schritt 1.2.5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 1.2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.9

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.9.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.9.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.9.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.9.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.9.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.9.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.9.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.9.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.9.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.9.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.9.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.9.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.9.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.9.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.9.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.9.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.9.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.9.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.9.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$y = 2 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2

Setze $2$ für $x$ in $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Schritt 1.5

Ersetze $x$ durch $- 1 + i \sqrt{3}$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.6

Ersetze $x$ durch $- 1 - i \sqrt{3}$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.7

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3