Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x}$ , $x = 16$ , $y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sqrt{x} = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2

Löse $\sqrt{x} = \frac{1}{3} x$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache ${(\frac{1}{3} x)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$x = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$x = \frac{x^{2}}{3^{2}}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 1.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere beide Seiten mit $9$ .

$x \cdot 9 = \frac{x^{2}}{9} \cdot 9$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$9 x = \frac{x^{2}}{9} \cdot 9$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x = \frac{x^{2}}{9} \cdot 9$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x = x^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$9 u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Faktorisiere $u$ aus $9 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $9 u$ heraus.

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.3.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

Schritt 1.2.3.3.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 9 + u (- u)$ heraus.

$u (9 - u) = 0$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (9 - x) = 0$

Schritt 1.2.3.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3.5

Setze $9 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.5.1

Setze $9 - x$ gleich $0$ .

$9 - x = 0$

Schritt 1.2.3.3.5.2

Löse $9 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 9$

Schritt 1.2.3.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x = 9$

Schritt 1.2.3.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (9 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 9$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (0)$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = \frac{1}{3} \cdot (0)$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Multipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 9$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $9$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (9)$

Schritt 1.4.2

Setze $9$ für $x$ in $y = \frac{1}{3} \cdot (9)$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Multipliziere $\frac{1}{3}$ mit $9$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot 9$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 (3))$

Schritt 1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Schritt 1.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 3$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(9, 3)$

$(0, 0)$

$(9, 3)$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{3}$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} \frac{x}{3} d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $9$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - (\frac{x}{3}) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{x}{3}$ .

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{x}{3} d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{x}{3} d x$

Schritt 4.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{x}{3} d x$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{x}{3} d x$

Schritt 4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \int_{0}^{9} \frac{x}{3} d x$

Schritt 4.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x)$

Schritt 4.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Schritt 4.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Schritt 4.9.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $9$ und $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3

Vereinfache.

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Schritt 4.9.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 4.9.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.7.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.8

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.9.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.12

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.13

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.14

Addiere $18$ und $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.15

Potenziere $9$ mit $2$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $81$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 4.9.3.17

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 4.9.3.18

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Schritt 4.9.3.19

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

Schritt 4.9.3.20

Addiere $\frac{81}{2}$ und $0$ .

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

Schritt 4.9.3.21

Mutltipliziere $\frac{81}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.9.3.22

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$18 - \frac{81}{6}$

Schritt 4.9.3.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $6$ .

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Schritt 4.9.3.23.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

Schritt 4.9.3.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.3.23.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.9.3.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.9.3.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 - \frac{27}{2}$

Schritt 4.9.3.24

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 4.9.3.25

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 4.9.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Schritt 4.9.3.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.3.27.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$\frac{36 - 27}{2}$

Schritt 4.9.3.27.2

Subtrahiere $27$ von $36$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 5

$A r e a = \int_{9}^{16} \frac{x}{3} d x - \int_{9}^{16} \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Integriere, um die Fläche zwischen $9$ und $16$ zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{9}^{16} \frac{x}{3} - (\sqrt{x}) d x$

Schritt 6.2

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt{x}$ .

$\int_{9}^{16} \frac{x}{3} - \sqrt{x} d x$

Schritt 6.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{9}^{16} \frac{x}{3} d x + \int_{9}^{16} - \sqrt{x} d x$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{9}^{16} x d x + \int_{9}^{16} - \sqrt{x} d x$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} + \int_{9}^{16} - \sqrt{x} d x$

Schritt 6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - \int_{9}^{16} \sqrt{x} d x$

Schritt 6.7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - \int_{9}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 6.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16})$

Schritt 6.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.9.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{9}^{16})$

Schritt 6.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.9.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $16$ und $9$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{9}^{16})$

Schritt 6.9.2.2

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $16$ und $9$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.9.2.3.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $256$ .

$\frac{1}{3} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.9.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $256$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.9.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.3.2.4

Dividiere $128$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} (128 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.4

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (128 - \frac{1}{2} \cdot 81) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.5

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (128 - 81 (\frac{1}{2})) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.6

Kombiniere $- 81$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (128 + \frac{- 81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (128 - \frac{81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.8

Um $128$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (128 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.9

Kombiniere $128$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{128 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{128 \cdot 2 - 81}{2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.9.2.3.11.1

Mutltipliziere $128$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{256 - 81}{2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.11.2

Subtrahiere $81$ von $256$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{175}{2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{175}{2}$ .

$\frac{175}{3 \cdot 2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.14

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.15

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.9.2.3.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.16.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.17

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.19

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.20

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.9.2.3.21.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.21.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3})$

Schritt 6.9.2.3.22

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 27}{3})$

Schritt 6.9.2.3.23

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{54}{3})$

Schritt 6.9.2.3.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 6.9.2.3.24.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3})$

Schritt 6.9.2.3.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.9.2.3.24.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 (1)})$

Schritt 6.9.2.3.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1})$

Schritt 6.9.2.3.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{18}{1})$

Schritt 6.9.2.3.24.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - 1 \cdot 18)$

Schritt 6.9.2.3.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - 18)$

Schritt 6.9.2.3.26

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 6.9.2.3.27

Kombiniere $- 18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3})$

Schritt 6.9.2.3.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{175}{6} - \frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.9.2.3.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.9.2.3.29.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$\frac{175}{6} - \frac{128 - 54}{3}$

Schritt 6.9.2.3.29.2

Subtrahiere $54$ von $128$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74}{3}$

Schritt 6.9.2.3.30

Um $- \frac{74}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.9.2.3.31

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.9.2.3.31.1

Mutltipliziere $\frac{74}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.9.2.3.31.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74 \cdot 2}{6}$

Schritt 6.9.2.3.32

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{175 - 74 \cdot 2}{6}$

Schritt 6.9.2.3.33

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.9.2.3.33.1

Mutltipliziere $- 74$ mit $2$ .

$\frac{175 - 148}{6}$

Schritt 6.9.2.3.33.2

Subtrahiere $148$ von $175$ .

$\frac{27}{6}$

Schritt 6.9.2.3.34

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $6$ .

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Schritt 6.9.2.3.34.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 (9)}{6}$

Schritt 6.9.2.3.34.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.9.2.3.34.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.9.2.3.34.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.9.2.3.34.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2}$

Schritt 7

Addiere die Flächen $\frac{9}{2} + \frac{9}{2}$ .

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 + 9}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.1

Addiere $9$ und $9$ .

$\frac{18}{2}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $18$ durch $2$ .

$9$

Schritt 8