Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{9}{8}}$ , $y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.2

Löse $x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.

${(x^{\frac{9}{8}})}^{8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{9}{8}})}^{8}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Schritt 1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{9} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Wende die Produktregel auf $7 x^{\frac{1}{8}}$ an.

$x^{9} = 7^{8} {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $7$ mit $8$ .

$x^{9} = 5764801 {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Schritt 1.2.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Schritt 1.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{9} = 5764801 x^{1}$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache.

$x^{9} = 5764801 x$

Schritt 1.2.4

Subtrahiere $5764801 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{9} - 5764801 x = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9} - 5764801 x$ heraus.

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Schritt 1.2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{9}$ heraus.

$x \cdot x^{8} - 5764801 x = 0$

Schritt 1.2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5764801 x$ heraus.

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801 = 0$

Schritt 1.2.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801$ heraus.

$x (x^{8} - 5764801) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$x ({(x^{4})}^{2} - 5764801) = 0$

Schritt 1.2.5.3

Schreibe $5764801$ als $2401^{2}$ um.

$x ({(x^{4})}^{2} - 2401^{2}) = 0$

Schritt 1.2.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{4}$ und $b = 2401$ .

$x ((x^{4} + 2401) (x^{4} - 2401)) = 0$

Schritt 1.2.5.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.5.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.5.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 2401)) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.2

Schreibe $2401$ als $49^{2}$ um.

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 49^{2})) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 49$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 49))) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.5.5.1.4.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.5.1.4.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 7^{2}))) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.4.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.5.5.1.4.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) ((x + 7) (x - 7)))) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.4.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7))) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7)) = 0$

Schritt 1.2.5.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$

Schritt 1.2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{4} + 2401 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0 + y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.2.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.8

Setze $x^{4} + 2401$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Setze $x^{4} + 2401$ gleich $0$ .

$x^{4} + 2401 = 0$

Schritt 1.2.8.2

Löse $x^{4} + 2401 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.2.1

Subtrahiere $2401$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = - 2401$

Schritt 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 2401}$

Schritt 1.2.8.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{- 2401}$ .

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Schritt 1.2.8.2.3.1

Schreibe $- 2401$ als $7^{4} \cdot - 1$ um.

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Schritt 1.2.8.2.3.1.1

Faktorisiere $2401$ aus $- 2401$ heraus.

$x = \pm \sqrt[4]{2401 (- 1)}$

Schritt 1.2.8.2.3.1.2

Schreibe $2401$ als $7^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{7^{4} \cdot - 1}$

Schritt 1.2.8.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 7 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 1.2.8.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.8.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 1.2.8.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 1.2.8.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 1.2.9

Setze $x^{2} + 49$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.1

Setze $x^{2} + 49$ gleich $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Schritt 1.2.9.2

Löse $x^{2} + 49 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.2.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 49$

Schritt 1.2.9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Schritt 1.2.9.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Schritt 1.2.9.2.3.1

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Schritt 1.2.9.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (49)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Schritt 1.2.9.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Schritt 1.2.9.2.3.4

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Schritt 1.2.9.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 7$

Schritt 1.2.9.2.3.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 7 i$

Schritt 1.2.9.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.9.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7 i$

Schritt 1.2.9.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7 i$

Schritt 1.2.9.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7 i, - 7 i$

Schritt 1.2.10

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 1.2.10.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 1.2.11

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.11.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 1.2.11.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 1.2.12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}, 7 i, - 7 i, - 7, 7$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{8}$ um.

$y = 7 \cdot {(0^{8})}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 7 \cdot 0^{1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$y = 7 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Wende die Produktregel auf $7 \sqrt[4]{- 1}$ an.

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}})$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{8}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.1

Bewege $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere $7^{\frac{1}{8}}$ mit $7$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Potenziere $7$ mit $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.4.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.4.2.2.5

Addiere $1$ und $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(- 7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.5.2

Wende die Produktregel auf $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ an.

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.6

Berechne $y$ bei $x = 7 i$ .

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Schritt 1.6.1

Ersetze $x$ durch $7 i$ .

$y = 7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache $7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$ .

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Schritt 1.6.2.1

Wende die Produktregel auf $7 i$ an.

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}})$

Schritt 1.6.2.2

Multipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{8}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.2.2.1

Bewege $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 i^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.6.2.2.2

Mutltipliziere $7^{\frac{1}{8}}$ mit $7$ .

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Schritt 1.6.2.2.2.1

Potenziere $7$ mit $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} i^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.6.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} i^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.6.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.6.2.2.5

Addiere $1$ und $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.7

Berechne $y$ bei $x = - 7 i$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze $x$ durch $- 7 i$ .

$y = 7 {(- 7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.7.2

Wende die Produktregel auf $- 7 i$ an.

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.8

Ersetze $x$ durch $- 7$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.9

Berechne $y$ bei $x = 7$ .

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Schritt 1.9.1

Ersetze $x$ durch $7$ .

$y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.9.2

Setze $7$ für $x$ in $y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.9.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 7 \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.9.2.2

Multipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{8}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $7^{\frac{1}{8}}$ .

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Schritt 1.9.2.2.1.1

Potenziere $7$ mit $1$ .

$y = 7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.9.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 7^{1 + \frac{1}{8}}$

Schritt 1.9.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 7^{\frac{8}{8} + \frac{1}{8}}$

Schritt 1.9.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 7^{\frac{8 + 1}{8}}$

Schritt 1.9.2.2.4

Addiere $8$ und $1$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}}$

Schritt 1.10

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3