Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 5.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 5.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

Schritt 5.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$V = π (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$V = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{π}{2}$

Dezimalform:

$V = 1.57079632 \dots$

Schritt 7