Analysis Beispiele

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 2 x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 4 x^{4}$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

Schritt 4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $2$ und $0$ .

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 6.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

Schritt 6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 6.2.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Schritt 6.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 6.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

Schritt 6.2.2.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

Schritt 6.2.2.5

Addiere $\frac{32}{5}$ und $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

Schritt 6.2.2.6

Kombiniere $\frac{32}{5}$ und $4$ .

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

Schritt 6.2.2.7

Mutltipliziere $32$ mit $4$ .

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

Schritt 6.2.2.8

Kombiniere $\frac{128}{5}$ und $π$ .

$V = \frac{128 π}{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{128 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 80.42477193 \dots$

Schritt 8