Analysis Beispiele

$y = 0$ , $x = 2$ , $y = \sqrt{x}$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = x$

Schritt 2.5

Vereinfache.

$V = x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$V = π ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$V = π (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$V = π (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (2 - \frac{0}{2})$

Schritt 4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$V = π (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 4.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (2 - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (2 - 0)$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (2 + 0)$

Schritt 4.2.2.6

Addiere $2$ und $0$ .

$V = π \cdot 2$

Schritt 4.2.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 2 π$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = 2 π$

Dezimalform:

$V = 6.28318530 \dots$

Schritt 6