Analysis Beispiele

$y = x$ , $y = 0$ , $x = 2$ , $x = 4$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{2}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = x$

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$V = x^{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π \frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π \frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $2$ .

$V = π ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{8}{3})$

Schritt 4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{64 - 8}{3})$

Schritt 4.2.2.4

Subtrahiere $8$ von $64$ .

$V = π (\frac{56}{3})$

Schritt 4.2.2.5

Kombiniere $π$ und $\frac{56}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 56}{3}$

Schritt 4.2.2.6

Bringe $56$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{56 π}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{56 π}{3}$

Dezimalform:

$V = 58.64306286 \dots$

Schritt 6