Analysis Beispiele

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 4 x$ und $g (x) = x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Schritt 4

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $4$ und $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.5

Addiere $\frac{64}{3}$ und $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.6

Kombiniere $16$ und $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $16$ mit $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.8

Potenziere $4$ mit $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Schritt 9.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 9.2.3.10.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Schritt 9.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Schritt 9.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Schritt 9.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Schritt 9.2.3.12

Addiere $\frac{1024}{5}$ und $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Schritt 9.2.3.13

Um $\frac{1024}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Schritt 9.2.3.14

Um $- \frac{1024}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 9.2.3.15

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.2.3.15.1

Mutltipliziere $\frac{1024}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 9.2.3.15.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 9.2.3.15.3

Mutltipliziere $\frac{1024}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Schritt 9.2.3.15.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Schritt 9.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Schritt 9.2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.17.1

Mutltipliziere $1024$ mit $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Schritt 9.2.3.17.2

Mutltipliziere $- 1024$ mit $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Schritt 9.2.3.17.3

Subtrahiere $3072$ von $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Schritt 9.2.3.18

Kombiniere $π$ und $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Schritt 9.2.3.19

Bringe $2048$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{2048 π}{15}$

Dezimalform:

$V = 428.93211697 \dots$

Schritt 11