Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \frac{3}{x}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x}$ an.

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$V = \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $14$ und $7$ .

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

Schritt 6.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.3

Um $\frac{1}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 6.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $14$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

Schritt 6.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

Schritt 6.2.6

Addiere $- 1$ und $2$ .

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

Schritt 6.2.7

Kombiniere $\frac{1}{14}$ und $9$ .

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

Schritt 6.2.8

Kombiniere $\frac{9}{14}$ und $π$ .

$V = \frac{9 π}{14}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{9 π}{14}$

Dezimalform:

$V = 2.01959527 \dots$

Schritt 8