Analysis Beispiele

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (y)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ , wobei $f (y) = 2 y$ und $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{2}}{2}$ an.

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $4$ und $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{y^{5}}{5}$ bei $4$ und $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 10.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.5

Addiere $\frac{64}{3}$ und $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.6

Kombiniere $4$ und $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.8

Potenziere $4$ mit $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 10.2.3.10.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Schritt 10.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Schritt 10.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Schritt 10.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Schritt 10.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Schritt 10.2.3.12

Addiere $\frac{1024}{5}$ und $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Schritt 10.2.3.13

Schreibe $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ als ein Produkt um.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Schritt 10.2.3.14

Mutltipliziere $\frac{1024}{5}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Schritt 10.2.3.15

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Schritt 10.2.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1024$ und $20$ .

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Schritt 10.2.3.16.1

Faktorisiere $4$ aus $1024$ heraus.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Schritt 10.2.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.16.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Schritt 10.2.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Schritt 10.2.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Schritt 10.2.3.17

Um $\frac{256}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Schritt 10.2.3.18

Um $- \frac{256}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 10.2.3.19

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.3.19.1

Mutltipliziere $\frac{256}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 10.2.3.19.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 10.2.3.19.3

Mutltipliziere $\frac{256}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Schritt 10.2.3.19.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Schritt 10.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Schritt 10.2.3.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.21.1

Mutltipliziere $256$ mit $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Schritt 10.2.3.21.2

Mutltipliziere $- 256$ mit $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Schritt 10.2.3.21.3

Subtrahiere $768$ von $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Schritt 10.2.3.22

Kombiniere $π$ und $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Schritt 10.2.3.23

Bringe $512$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{512 π}{15}$

Dezimalform:

$V = 107.23302924 \dots$

Schritt 12