Analysis Beispiele

$x = y^{\frac{1}{3}}$ , $x = 0$ , $y = 64$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 64$ und $g (x) = x^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$V = 4096 - {(x^{3})}^{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4096 - x^{3 \cdot 2}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$V = 4096 - x^{6}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{4} 4096 d x + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{6} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{4}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $4096 x$ bei $4$ und $0$ .

$V = π ((4096 \cdot 4) - 4096 \cdot 0 - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{7}}{7}$ bei $4$ und $0$ .

$V = π (4096 \cdot 4 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $4096$ mit $4$ .

$V = π (16384 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 4096$ mit $0$ .

$V = π (16384 + 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $16384$ und $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $4$ mit $7$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Schritt 7.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{7}))$

Schritt 7.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $7$ .

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Schritt 7.2.3.6.1

Faktorisiere $7$ aus $0$ heraus.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 (0)}{7}))$

Schritt 7.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.6.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - 0))$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} + 0))$

Schritt 7.2.3.8

Addiere $\frac{16384}{7}$ und $0$ .

$V = π (16384 - \frac{16384}{7})$

Schritt 7.2.3.9

Um $16384$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$V = π (16384 \cdot \frac{7}{7} - \frac{16384}{7})$

Schritt 7.2.3.10

Kombiniere $16384$ und $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{16384 \cdot 7}{7} - \frac{16384}{7})$

Schritt 7.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{16384 \cdot 7 - 16384}{7})$

Schritt 7.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.12.1

Mutltipliziere $16384$ mit $7$ .

$V = π (\frac{114688 - 16384}{7})$

Schritt 7.2.3.12.2

Subtrahiere $16384$ von $114688$ .

$V = π (\frac{98304}{7})$

Schritt 7.2.3.13

Kombiniere $π$ und $\frac{98304}{7}$ .

$V = \frac{π \cdot 98304}{7}$

Schritt 7.2.3.14

Bringe $98304$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{98304 π}{7}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{98304 π}{7}$

Dezimalform:

$V = 44118.73203121 \dots$

Schritt 9