Analysis Beispiele

$y = x - \frac{1}{75} x^{3}$ , $y = 0$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse $x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{75}$ .

$x - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x - \frac{x^{3}}{75}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{x^{3}}{75}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75})$ heraus.

$x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0 + y = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $1 - \frac{x^{2}}{75}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $1 - \frac{x^{2}}{75}$ gleich $0$ .

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{75} = - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 75$ .

$- 75 (- \frac{x^{2}}{75}) = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Vereinfache $- 75 (- \frac{x^{2}}{75})$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $75$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{75}$ in den Zähler.

$- 75 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $75$ aus $- 75$ heraus.

$75 (- 1) \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$75 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 75$ mit $- 1$ .

$x^{2} = 75$

Schritt 1.2.5.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{75}$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

Schritt 2

Vereinfache $x - \frac{1}{75} x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{75}$ .

$y = x - \frac{x^{3}}{75}$

Schritt 2.2

Stelle $x$ und $- \frac{x^{3}}{75}$ um.

$y = - \frac{x^{3}}{75} + x$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 d x - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- 5 \sqrt{3}$ und $0$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $- \frac{x^{3}}{75} + x$ von $0$ .

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} - x d x$

Schritt 4.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Schritt 4.5

Da $\frac{1}{75}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{75}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{75} \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x^{3} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Schritt 4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x d x$

Schritt 4.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Schritt 4.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Schritt 4.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.9.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $0$ und $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Schritt 4.9.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.9.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.3

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 (\sqrt{3}))}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.4

Wende die Produktregel auf $- 5 (\sqrt{3})$ an.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} ({(- 5)}^{4} {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.5

Potenziere $- 5$ mit $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 4.9.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.9.2.3.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.3.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.6.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 9)) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.8

Mutltipliziere $625$ mit $9$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} \cdot 5625) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.9

Mutltipliziere $5625$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{75} (0 - 5625 (\frac{1}{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.10

Kombiniere $- 5625$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{75} (0 + \frac{- 5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.12

Subtrahiere $\frac{5625}{4}$ von $0$ .

$\frac{1}{75} (- \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.13

Mutltipliziere $\frac{1}{75}$ mit $\frac{5625}{4}$ .

$- \frac{5625}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.14

Mutltipliziere $75$ mit $4$ .

$- \frac{5625}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5625$ und $300$ .

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Schritt 4.9.2.3.15.1

Faktorisiere $75$ aus $5625$ heraus.

$- \frac{75 (75)}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.3.15.2.1

Faktorisiere $75$ aus $300$ heraus.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{75}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.16

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.9.2.3.17.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.3.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.17.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.18

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 (\sqrt{3}))}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.19

Wende die Produktregel auf $- 5 (\sqrt{3})$ an.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.20

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.21

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.9.2.3.21.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.21.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.21.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.21.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.9.2.3.21.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.21.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{1}}{2})$

Schritt 4.9.2.3.21.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3}{2})$

Schritt 4.9.2.3.22

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{75}{2})$

Schritt 4.9.2.3.23

Subtrahiere $\frac{75}{2}$ von $0$ .

$- \frac{75}{4} - - \frac{75}{2}$

Schritt 4.9.2.3.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{75}{4} + 1 (\frac{75}{2})$

Schritt 4.9.2.3.25

Mutltipliziere $\frac{75}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

Schritt 4.9.2.3.26

Um $\frac{75}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.9.2.3.27

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.9.2.3.27.1

Mutltipliziere $\frac{75}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.9.2.3.27.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

Schritt 4.9.2.3.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

Schritt 4.9.2.3.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.2.3.29.1

Mutltipliziere $75$ mit $2$ .

$\frac{- 75 + 150}{4}$

Schritt 4.9.2.3.29.2

Addiere $- 75$ und $150$ .

$\frac{75}{4}$

Schritt 5

$A r e a = \int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x - \int_{0}^{5 \sqrt{3}} 0 d x$

Schritt 6

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $5 \sqrt{3}$ zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x - (0) d x$

Schritt 6.2

Subtrahiere $0$ von $- \frac{x^{3}}{75} + x$ .

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

Schritt 6.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Schritt 6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{5 \sqrt{3}} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Schritt 6.5

Da $\frac{1}{75}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{75}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{75} \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x^{3} d x) + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Schritt 6.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

Schritt 6.8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $5 \sqrt{3}$ und $0$ .

$- \frac{1}{75} ((\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

Schritt 6.8.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $5 \sqrt{3}$ und $0$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache.

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Schritt 6.8.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 (\sqrt{3}))}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.2

Wende die Produktregel auf $5 (\sqrt{3})$ an.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (5^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.3

Potenziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 6.8.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.8.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.8.3.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.4.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 9) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.6

Mutltipliziere $625$ mit $9$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 5625 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $5625$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.9

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.10

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.11

Addiere $\frac{5625}{4}$ und $0$ .

$- \frac{1}{75} \cdot \frac{5625}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.12

Mutltipliziere $\frac{5625}{4}$ mit $\frac{1}{75}$ .

$- \frac{5625}{4 \cdot 75} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.13

Mutltipliziere $4$ mit $75$ .

$- \frac{5625}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5625$ und $300$ .

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Schritt 6.8.3.14.1

Faktorisiere $75$ aus $5625$ heraus.

$- \frac{75 (75)}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.8.3.14.2.1

Faktorisiere $75$ aus $300$ heraus.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.15

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 (\sqrt{3}))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.16

Wende die Produktregel auf $5 (\sqrt{3})$ an.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (5^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.17

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.18

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.8.3.18.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.18.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.18.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.8.3.18.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.18.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{1}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.18.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.19

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} \cdot 75 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.20

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $75$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 6.8.3.21

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 6.8.3.22

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Schritt 6.8.3.23

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0$

Schritt 6.8.3.24

Addiere $\frac{75}{2}$ und $0$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

Schritt 6.8.3.25

Um $\frac{75}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.8.3.26

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.8.3.26.1

Mutltipliziere $\frac{75}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.8.3.26.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

Schritt 6.8.3.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

Schritt 6.8.3.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.3.28.1

Mutltipliziere $75$ mit $2$ .

$\frac{- 75 + 150}{4}$

Schritt 6.8.3.28.2

Addiere $- 75$ und $150$ .

$\frac{75}{4}$

Schritt 7

Addiere die Flächen $\frac{75}{4} + \frac{75}{4}$ .

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{75 + 75}{4}$

Schritt 7.2

Addiere $75$ und $75$ .

$\frac{150}{4}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $150$ und $4$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $150$ heraus.

$\frac{2 (75)}{4}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{75}{2}$

Schritt 8