Analysis Beispiele

$y = x$ , $y = x^{3}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x = x^{3}$

Schritt 1.2

Löse $x = x^{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x - x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x^{2})$ heraus.

$x (1 - x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (1^{2} - x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{3}$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.6

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{3}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = {(0)}^{3}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3}$

Schritt 1.3.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 1$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = {(1)}^{3}$

Schritt 1.5.2

Setze $1$ für $x$ in $y = {(1)}^{3}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.5.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{3}$

Schritt 1.5.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1$

Schritt 1.6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{3} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $0$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - (x) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - x d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Schritt 3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Schritt 3.7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Schritt 3.7.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.7.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.5

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.7.2.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{1}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \frac{1}{4} - - \frac{1}{2}$

Schritt 3.7.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.7.2.3.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.7.2.3.12

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.7.2.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.7.2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.2.3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

Schritt 3.7.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{4}$

Schritt 3.7.2.3.15

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} x - (x^{3}) d x$

Schritt 5.2

Multipliziere $- 1$ mit $x^{3}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{3} d x$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Schritt 5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Schritt 5.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Schritt 5.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 5.7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.7.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 5.7.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.7.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3.6

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.7.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Schritt 5.7.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 5.7.2.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 5.7.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.3.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 5.7.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 5.7.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.7.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

Schritt 5.7.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

Schritt 5.7.2.3.11

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.7.2.3.12

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.7.2.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.7.2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.7.2.3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.7.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1}{4}$

Schritt 5.7.2.3.15

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 6

Addiere die Flächen $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 1}{4}$

Schritt 6.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{4}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 7