Analysis Beispiele

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 16$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

Schritt 1.2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

Schritt 1.3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.3.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.3.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.3.3.9

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.4

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.6.1

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ durch $4 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ durch $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Schritt 1.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Schritt 1.6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Schritt 1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Schritt 1.6.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Schritt 1.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Schritt 1.6.2.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

Schritt 1.6.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.2.3.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

Schritt 1.6.2.3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

Schritt 1.6.2.3.3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ um.

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8

Berechne bei $x = 16$ und $y = 4$ .

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Schritt 1.8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $16$ .

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $4$ .

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.3

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.8.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.8.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Schritt 1.8.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

Schritt 1.8.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

Schritt 1.8.3.6

Addiere $5$ und $2$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Schritt 1.8.4

Potenziere $2$ mit $7$ .

$\frac{1}{128}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{128}$ und einen gegebenen Punkt $(16, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{128}$ und $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $16$ aus $128$ heraus.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $16$ aus $- 16$ heraus.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 1$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

Schritt 2.3.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 1$ und $32$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

Schritt 3