Analysis Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 72$ , $(3, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (72)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 9 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 y^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$8 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$8 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x + 9 (2 y y')$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$8 x + 18 y y'$

Schritt 1.2.4

Stelle die Terme um.

$18 y y' + 8 x$

Schritt 1.3

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$18 y y' + 8 x = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 y y' = - 8 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $18 y y' = - 8 x$ durch $18 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $18 y y' = - 8 x$ durch $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{18 y}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $18$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{18 y}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 4 x}{9 y}$

Schritt 1.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x}{9 y}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 3$ und $y = 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$- \frac{4 (3)}{9 y}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$- \frac{4 (3)}{9 (2)}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (3)$ heraus.

$- \frac{2 (2 \cdot 3)}{9 (2)}$

Schritt 1.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $9 (2)$ heraus.

$- \frac{2 (2 \cdot 3)}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (2 \cdot 3)}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \cdot 3}{9}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$- \frac{3 \cdot 2}{9}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = - \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (- 1))$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 2 = - \frac{2 x}{3} + 2$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 x}{3} + 2 + 2$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 4$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2}{3} x) + 4$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{3} x + 4$

Schritt 3