Analysis Beispiele

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ als ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.7.1.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1.7.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ um.

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 1.8

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

Schritt 1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.9.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

Schritt 1.9.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.9.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

Schritt 1.9.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Schritt 1.9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Schritt 1.9.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

Schritt 1.9.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

Schritt 1.9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.9.2.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

Schritt 1.9.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 (\frac{8}{1})$

Schritt 1.9.2.2.3

Dividiere $8$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Schritt 1.9.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 8$ und einen gegebenen Punkt $(0, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 8 = - 8 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 8 x + 8$

Schritt 3