Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere ${(2 x - 5)}^{2}$ mit $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

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Schritt 1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2 x - 5$ aus ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2 x - 5$ aus ${(2 x - 5)}^{2}$ heraus.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $2 x - 5$ aus $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ heraus.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $2 x - 5$ aus $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ heraus.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Schritt 1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $2 x - 5$ aus ${(2 x - 5)}^{4}$ heraus.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.11

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.12.3

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.12.4

Kombiniere $3$ und $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.13.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.3

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x - 15$ heraus.

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Schritt 1.13.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.5

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.7

Schreibe $- (2 x + 5)$ als $- 1 (2 x + 5)$ um.

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.13.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.14

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Schritt 1.15

Vereinfache.

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Schritt 1.15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.15.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Schritt 1.15.1.2

Addiere $4$ und $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Schritt 1.15.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.15.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

Schritt 1.15.2.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 1.15.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

Schritt 1.15.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.15.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

Schritt 1.15.3.2

Dividiere $27$ durch $- 1$ .

$- - 27$

Schritt 1.15.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$27$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $27$ und einen gegebenen Punkt $(2, 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $27 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $27$ mit $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 27 x - 54 + 6$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 54$ und $6$ .

$y = 27 x - 48$

Schritt 3