Analysis Beispiele

$y = \frac{36}{x^{2} + 2}$ , $(1, 12)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 12$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{36}{x^{2} + 2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ um.

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$36 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$36 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$- 36 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$- 72 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 72 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 72$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Bringe $72$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{72 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{72 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $72$ mit $1$ .

$- \frac{72}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{72}{{(1 + 2)}^{2}}$

Schritt 1.6.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{72}{3^{2}}$

Schritt 1.6.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{72}{9}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1

Dividiere $72$ durch $9$ .

$- 1 \cdot 8$

Schritt 1.6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 8$ und einen gegebenen Punkt $(1, 12)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (12) = - 8 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 8 \cdot (x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 12 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 12 = - 8 x - 8 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y - 12 = - 8 x + 8$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 8 x + 8 + 12$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $8$ und $12$ .

$y = - 8 x + 20$

Schritt 3