Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 1$ und $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 4 - 2 x - 1$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{9}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{9}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

Schritt 3