Analysis Beispiele

$y = {(1 + 5 x)}^{15}$ , $(0, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{15}$ und $g (x) = 1 + 5 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 5 x$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $15$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \cdot 1$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $75$ mit $1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$75 {(1 + 5 (0))}^{14}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$75 {(1 + 0)}^{14}$

Schritt 1.4.2

Addiere $1$ und $0$ .

$75 \cdot 1^{14}$

Schritt 1.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$75 \cdot 1$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $75$ mit $1$ .

$75$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $75$ und einen gegebenen Punkt $(0, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 75 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 75 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 1 = 75 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 75 x + 1$

Schritt 3