Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 1$ und $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.5

Multipliziere $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.4.1.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.6.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2.2

Addiere $2 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.4

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.2.4

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{6}{3^{2}}$

Schritt 1.5.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{9}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2)}{9}$

Schritt 1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.3

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

Schritt 3