Analysis Beispiele

$48 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 625 x y^{2}$ , $(3, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$48 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$48 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$48 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$96 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6.2

Stelle die Faktoren von $(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $625$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $625 x y^{2}$ nach $x$ gleich $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 1.3.8

Vereinfache.

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Schritt 1.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Schritt 1.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Schritt 1.3.8.3

Stelle die Terme um.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ .

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Schritt 1.5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 96 x \cdot x^{2} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 96 (x^{2} x) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 96 (x^{2} x^{1}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 96 x^{2 + 1} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 96 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $96$ .

$192 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{3} + 2 \cdot 96 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $96$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.6

Mutltipliziere $96$ mit $2$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.8

Mutltipliziere $96$ mit $2$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1250 x y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Schritt 1.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.3.1

Subtrahiere $192 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3}$

Schritt 1.5.3.2

Subtrahiere $192 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $192 y y' x^{2}$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2}) + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $192 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 1250 x y y'$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2})$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x)$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ durch $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ durch $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x$ .

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Schritt 1.5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $625 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 192$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 192 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 192$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 192 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y^{2}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 96 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

Schritt 1.5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

Schritt 1.5.5.3.2

Um $- \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2}$

Schritt 1.5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.5.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $625 y - 96 x y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 1.5.5.3.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $625 y$ heraus.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 96 x y \cdot 2$ heraus.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)$ heraus.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 96$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.6

Um $- \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.7

Um $\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 1.5.5.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.5.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 1.5.5.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

Schritt 1.5.5.3.8.3

Stelle die Faktoren von $y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

Schritt 1.5.5.3.8.4

Stelle die Faktoren von $2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y$ um.

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 96 x^{3} \cdot 2 + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.5.3.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 96$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.10.2.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y \cdot y (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} \cdot 625 + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.4

Bringe $625$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 \cdot y^{2} + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.5.5.3.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 192 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3}) + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $625 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 192 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.5.3.11.6.1

Schreibe $- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ als $- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ um.

$y' = \frac{- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 3$ und $y = 4$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$- \frac{192 {(3)}^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} (3)}{2 y (96 {(3)}^{2} + 96 y^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $4$ .

$- \frac{192 {(3)}^{3} - 625 {(4)}^{2} + 192 {(4)}^{2} (3)}{2 (4) (96 {(3)}^{2} + 96 {(4)}^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{192 \cdot 27 - 625 \cdot 4^{2} + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $192$ mit $27$ .

$- \frac{5184 - 625 \cdot 4^{2} + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{5184 - 625 \cdot 16 + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $- 625$ mit $16$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 192 \cdot 4^{2} \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 192 \cdot 16 \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.6

Multipliziere $192 \cdot 16 \cdot 3$ .

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Schritt 1.7.3.6.1

Mutltipliziere $192$ mit $16$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 3072 \cdot 3}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.6.2

Mutltipliziere $3072$ mit $3$ .

$- \frac{5184 - 10000 + 9216}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.7

Subtrahiere $10000$ von $5184$ .

$- \frac{- 4816 + 9216}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.3.8

Addiere $- 4816$ und $9216$ .

$- \frac{4400}{2 (4) (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{4400}{8 (96 \cdot 3^{2} + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{4400}{8 (96 \cdot 9 + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $96$ mit $9$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 96 \cdot 4^{2} - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.5.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 96 \cdot 16 - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.5.4

Mutltipliziere $96$ mit $16$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 1536 - 625 \cdot 3)}$

Schritt 1.7.5.5

Mutltipliziere $- 625$ mit $3$ .

$- \frac{4400}{8 (864 + 1536 - 1875)}$

Schritt 1.7.5.6

Addiere $864$ und $1536$ .

$- \frac{4400}{8 (2400 - 1875)}$

Schritt 1.7.5.7

Subtrahiere $1875$ von $2400$ .

$- \frac{4400}{8 \cdot 525}$

Schritt 1.7.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $525$ .

$- \frac{4400}{4200}$

Schritt 1.7.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4400$ und $4200$ .

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Schritt 1.7.6.2.1

Faktorisiere $200$ aus $4400$ heraus.

$- \frac{200 (22)}{4200}$

Schritt 1.7.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.2.2.1

Faktorisiere $200$ aus $4200$ heraus.

$- \frac{200 \cdot 22}{200 \cdot 21}$

Schritt 1.7.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{200 \cdot 22}{200 \cdot 21}$

Schritt 1.7.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{22}{21}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{22}{21}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = - \frac{22}{21} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = - \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{22}{21} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = - \frac{22}{21} x - \frac{22}{21} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{22}{21}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} - \frac{22}{21} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{22}{21}$ in den Zähler.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{21} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 (7)} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 \cdot 7} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{3 \cdot 7} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22}{7} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 22}{7}$ und $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{- 22 \cdot - 1}{7}$

Schritt 2.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 22$ mit $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 22}{21} + \frac{22}{7}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $22$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 4 = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + 4$

Schritt 2.3.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + 4 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22}{7} + \frac{4 \cdot 7}{7}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22 + 4 \cdot 7}{7}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{22 + 28}{7}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $22$ und $28$ .

$y = - \frac{22 x}{21} + \frac{50}{7}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{22}{21} x) + \frac{50}{7}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{22}{21} x + \frac{50}{7}$

Schritt 3