Analysis Beispiele

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x y^{3} + 5 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x y^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.2.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

Schritt 1.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

Schritt 1.2.4.4

Stelle die Terme um.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

Schritt 1.3

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $4 y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

Schritt 1.5.1.2

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $x y'$ aus $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $12 y^{2} x y'$ heraus.

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $5 x y'$ heraus.

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ heraus.

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ durch $x (12 y^{2} + 5)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ durch $x (12 y^{2} + 5)$ .

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12 y^{2} + 5$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 4$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Schritt 1.7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Schritt 1.7.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Schritt 1.7.3.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Schritt 1.7.3.3

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

Schritt 1.7.4.3

Addiere $12$ und $5$ .

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $17$ .

$\frac{- 9}{68}$

Schritt 1.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{68}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{9}{68}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{9}{68}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{68}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{- 9}{17}$ und $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

Schritt 2.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $9$ und $17$ .

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

Schritt 3