Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 16 x + 5$ , $(4, 5)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 16 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 16 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 16 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 16$ und $0$ .

$3 x^{2} - 16$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$3 {(4)}^{2} - 16$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$3 \cdot 16 - 16$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 - 16$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $16$ von $48$ .

$32$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $32$ und einen gegebenen Punkt $(4, 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = 32 \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = 32 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $32 \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 + 32 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = 32 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = 32 x + 32 \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $32$ mit $- 4$ .

$y - 5 = 32 x - 128$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 32 x - 128 + 5$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 128$ und $5$ .

$y = 32 x - 123$

Schritt 3