Analysis Beispiele

$y = \sqrt[4]{x}$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 1.9

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{1}{4 {(1)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 4}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $- 1$ und $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$

Schritt 3